มันจะเป็นข่าวสำหรับหลาย ๆ คนว่าปี 2543
เป็นปีคณิตศาสตร์โลก เว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ เหตุใดงานที่ยิ่งใหญ่นี้จึงไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางมากขึ้น แน่นอน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะคณิตศาสตร์เป็นผลประโยชน์ส่วนน้อย แต่ยังเป็นเพราะนักคณิตศาสตร์เองไม่เห็นด้วยกับวิธีการฉลองอย่างเป็นทางการเพียงวิธีเดียว การประชุมหลายครั้งอ้างว่าเป็นโอกาสสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ชั้นนำจะตรวจสอบเรื่องของตนและทำนายอนาคต และมีหนังสือมากกว่าหนึ่งเล่มที่มีจุดประสงค์คล้ายกัน
หนึ่งศตวรรษที่ผ่านมา ศาสตร์แห่งอนาคตทางคณิตศาสตร์ถูกครอบงำโดยบุคคลเพียงคนเดียวซึ่งเกือบจะเป็นผู้คิดค้น เมื่ออายุได้ 38 ปี David Hilbert นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้บรรยายที่งาน 1900 International Congress of Mathematicians ในกรุงปารีส ในนั้นเขามีปัญหา 23 ข้อซึ่งไม่ใช่ปัญหาเดิมทั้งหมดสำหรับเขา “จากการอภิปราย” ในขณะที่เขากล่าว “อาจคาดหวังความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์” การบรรยายของเขากลายเป็นสิ่งที่มีอิทธิพลอย่างมาก การประชุมยุคมิลเลนเนียลในวันนี้ล้วนพาดพิงถึงเรื่องนี้ และแทบจะไม่สามารถทำอย่างอื่นได้อีก
คุณธรรมอย่างหนึ่งในหนังสือของเจเรมี เกรย์เกี่ยวกับปัญหาของฮิลเบิร์ตคือมันอธิบายได้อย่างน่าเชื่อถือว่าชายหนุ่มคนหนึ่งซึ่งบรรยายเพียงครั้งเดียว ซึ่งเราบอกเล่าว่าไม่ได้สร้างความประทับใจให้ผู้ฟังในทันทีมากนัก อาจมี ผลที่เขาทำ เหตุผลหนึ่งก็คือปัญหาของฮิลเบิร์ตได้รับการคัดเลือกเป็นอย่างดี เขาตั้งใจให้มันยาก แต่ไม่ยากจนไม่สามารถเข้าใกล้ได้ และด้วยข้อยกเว้นหนึ่งหรือสองข้อ การตัดสินของเขาถูกต้อง อีกเหตุผลหนึ่งคือฮิลเบิร์ตเคยทำงานในหลาย ๆ ด้าน ซึ่งจริง ๆ แล้วเขามักถูกมองว่าเป็นนักคณิตศาสตร์สากลอย่างแท้จริงคนสุดท้าย ดังนั้นเขาจึงสามารถเลือกปัญหาที่ครอบคลุมคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้ เหตุผลประการที่สามก็คือ แนวคิดในการนำเสนอรายการปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขที่คัดสรรมาอย่างดีนั้นเป็นเรื่องที่ยอดเยี่ยม หากฮิลเบิร์ตใช้เส้นทางที่ชัดเจนกว่านี้ เช่น การวางโครงร่างโปรแกรมที่สำคัญสำหรับการวิจัย เขาคงไม่สามารถจับภาพจินตนาการของนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 ในลักษณะเดียวกันได้
จุดสำคัญที่เกรย์แสดงออกมาได้ดีมาก
คือปัญหามากมายของฮิลเบิร์ตเชื่อมโยงกันด้วยประเด็นทางปรัชญาและอภิปรัชญาที่เป็นรากฐาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขาได้รับเลือกไม่เพียงเพราะความสนใจที่แท้จริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสิ่งที่พวกเขาอาจเปิดเผยเกี่ยวกับธรรมชาติของการโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเรขาคณิตสามมิติที่ว่าถ้าทรงสี่เหลี่ยมจตุรัสสององค์มีความสูงเท่ากันและมีสามเหลี่ยมเดียวกันกับฐาน พวกมันจะมีปริมาตรเท่ากัน แต่ข้อพิสูจน์ที่รู้กันเท่านั้นเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนี้ใช้แคลคูลัสหรืออย่างน้อยก็เป็นข้อโต้แย้งที่จำกัดบางประเภท ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีบทสองมิติที่เทียบเท่ากันเกี่ยวกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถพิสูจน์ได้โดยการตัดสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสองสามชิ้นแล้วจัดเรียงใหม่เพื่อสร้างอีกรูปหนึ่ง ปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตถามว่าหลักฐานดังกล่าวสามารถประดิษฐ์ขึ้นสำหรับเตตราเฮดราได้หรือไม่ แต่ความสนใจที่แท้จริงของเขาอยู่ที่คำถามเชิงอภิปรัชญาว่าจำเป็นต้องใช้แคลคูลัสหรือไม่ นี่เป็นปัญหาแรกของเขาที่ต้องแก้ไข ในปี 1902 Max Dehn แสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีแคลคูลัส
ปัญหาของฮิลเบิร์ตสองปัญหาที่มีชื่อเสียงคือมีวิธีแก้ปัญหาเมตาเทเมติก ปัญหาแรกของเขาคือการพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานความต่อเนื่องของคันทอร์ ซึ่งเป็นข้อความที่ว่าไม่มีเซตอนันต์ใดที่ใหญ่กว่าเซตของจำนวนเต็มบวกแต่น้อยกว่าเซตของจำนวนจริง ขอบคุณ Kurt Gödel (ในปี 1938) และ Paul Cohen (ในปี 1963) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าคำกล่าวนี้ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ ปัญหาที่สิบของฮิลเบิร์ตขอวิธีการที่เป็นระบบในการตัดสินว่าสมการไดโอแฟนไทน์ใดมีคำตอบ (สมการไดโอแฟนไทน์เป็นสมการพหุนามซึ่งต้องให้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม) ยูริ มาติยาเซวิชจากผลงานของนักคณิตศาสตร์หลายคนได้พิสูจน์ในปี 1970 ว่าไม่มีวิธีการดังกล่าว ผลลัพธ์เช่นนี้มีผลอย่างมากต่อปรัชญาของคณิตศาสตร์
ผู้เขียนหนังสือคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามที่มุ่งเป้าไปที่ผู้อ่านทั่วไปต้องตัดสินใจว่าจะใช้ความรู้พื้นฐานแบบใด และเกรย์ก็เหมือนกับหนังสืออื่นๆ ที่ไม่สอดคล้องกับความต้องการของเขา เห็นได้จากการตรวจสอบอย่างรวดเร็วของ ‘กล่อง’ ของเขา ภาชนะเหล่านั้นเป็นที่ชื่นชอบของสำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์ยอดนิยม ซึ่งมีภาพประกอบและคำอธิบาย (ไม่เพียงพอ) ของประเด็นทางเทคนิคบางอย่างในข้อความ ที่กล่าวว่าจะเป็นการเข้าใจผิดที่จะอธิบายหนังสือเล่มนี้ว่าเป็นวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยม ข้อบ่งชี้สองประการของเจตนาที่จริงจังคือชื่อเรื่องไม่ได้ใช้คำว่า ‘ประวัติศาสตร์’ หรือ ‘ชีวประวัติ’ อย่างโง่เขลา และเราเรียนรู้แทบไม่มีอะไรเลยเกี่ยวกับชีวิตส่วนตัวของฮิลเบิร์ต (เช่น ฉันยังไม่รู้ว่าเขาเคยแต่งงานหรือเปล่า) สำหรับผู้อ่านที่ตั้งใจไว้ อย่างน้อยการได้เรียนคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยบ้างก็จำเป็นต่อการชื่นชมหนังสือเล่มนี้อย่างเหมาะสม
ข้อร้องเรียนหนึ่งข้อของฉัน (นอกเหนือจากเรื่องเล็กน้อย) คือร้อยแก้วของเกรย์มีประโยคที่สร้างขึ้นอย่างงุ่มง่ามมากเกินไปจนฉันต้องอ่านสองครั้ง นี่คือตัวอย่างหนึ่งจากรายการยาว: เห็นได้ชัดว่า Hermann Minkowski คิดว่า “ไม่น่าเป็นไปได้ที่พหุนามใด ๆ ในหลายตัวแปรที่ไม่เคยเป็นลบจะแสดงเป็นผลรวมของกำลังสอง” แน่นอนว่า หลายคนเป็นคนหนึ่งที่น่าแปลกใจ ก่อนที่จะตระหนักว่าคำว่า “ใดๆ” ควรจะเข้าใจอย่างผิดธรรมชาติในฐานะ “ทุกๆ อย่าง” การเขียนประเภทนี้ช่วยลดความสุขในการอ่านหนังสือ ซึ่งยังคงให้ความกระจ่างและแนะนำเป็นอย่างยิ่ง เว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์
